Матрицы, операции над ними, обратная матрица. Определители и их свойства.

Матрица – это прямоугольная таблица чисел, заключенная в круглых скобках.

ОПЕРАЦИИ:

Обратная матрица:

Матрица называется обратной матрицей А, если = = Е

Теорема:

Для того чтобы матрица А, имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы матрица А была невыраженной

Матрица называется невыраженной, определитель А не равен нулю и выражен, если определитель А = 0

Необходимо!!!

Достаточно!!!

Определители:

В каждой матрице ставится в соответствии число, называемое определителем.

Определитель –Это число, соответствующее квадратной матрице.

Обозначения:

Свойства определителей:

2)Если у матрицы поменять местами 2-е строки(2-а столбца), то ее определитель сменит знак:

Следствие 1: Если у матрицы 2-е строки (столбца) одинаковые, то определитель этой матрицы равен нулю.

3)Общий множитель элементов строки (столбца) можно выносить за знак определителя:

Следствие 2: Если у матрицы 2-е строки(столбца) пропорциональны, то определитель этой матрицы равен нулю.

Следствие 3: Если у матрицы есть нулевая строка(столбец), то определитель этой матрицы равен нулю.

4)

5)Определитель матрицы не изменяется, если к элементам одной строки(столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки(столбца), умноженные на некоторое одно и тоже число:

Сумма произведений элементов какой-нибудь строки(столбца) определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки(столбца) равна нулю.

Билет 20

Элементарные преобразования, ранг матрицы, теорема Кронекера-Копелли.

Элементарные преобразования матриц:

1)Перестановка строк.

2)Умножение какой-либо строки на число, отличное от нуля.

3)Прибавление к одной строке другой строки, умноженное на какое-либо число.

4)Те же операции над столбцами.

И в результате всех этих преобразований, получаем матрицу, эквивалентную данной.

Ранг матрицы

Пусть в матрице А размерности m x n выбраны k строк и k столбцов, k<=m и n. Определитель матрицы, элементы которой стоят на пересечении строк и столбцов называется минором порядка k матрицы А.

Пусть все миноры матрицы А порядков, больших r, равны нулю, и при этом существует отличный от нуля минор порядка r. Число r называется рангом матрицыА. Обозначается: rangA(r,rgA) = r. Другими словами рангом матрицыА называется максимальный порядок отличного от нуля минора матрицы А. Этот минор называется базисным минором.

Способ вычисления ранга:

Привести матрицу к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований.



Тогда число ненулевых строк является рангом:

Пример:

Теорема Кронекера-Копелли.

Для того чтобы система

Была совместна, необходимо и достаточно, чтобы

Пусть система совместна и - ранг системы, n-число неизвестных, m-число уравнений.

1)Пусть r

2)Если r=n, то система имеет единственное решение, которое может быть найдено, например, с помощью формул Крамера.

3)Пусть r

Назовем неизвестные

Придавая свободным неизвестным произвольные значения, получаем определенную систему относительно базисных переменных. Принимая свободные неизвестные за параметры, можно выразить базисные переменные через свободные, то есть получить общее решение системы:

Билет 21

Метод Гаусса - универсальный способ решения линейных уравнений. Определяется принадлежность тому или иному классу (совместность, определённость). Состоит из трёх этапов1)(подготовительный)Приводим расширенную матрицу к ступенчатому виду. 2)В ходе исследования требуется выяснить :а)совместна ли система(равен ли ранг матрицы системы рангу расширенной матрицы.), б)чему равен ранг, в)какие переменные выбрать за базисные, кол-во переменных =r, но не любые могут быть базисными, а только те у которых соответствующие им столбцы ступенчатого вида не входят в базисный минор этой матрицы Рассмотрим выступающие части «ступенек». Теперь в каждой такой части выберем нулевой элемент, который с гарантией, что он существует. Эти столбцы и соответствуют переменным, которые мы выберем за базисные. Остальные переменные свободные. 3) «обратный ход». Выражаем все базисные переменные через свободные



Для этого мы должны преобразовать расширенную матрицу системы элементарными преобразованиями строк к такому виду, в котором каждый столбец, соответствующий базисной переменной, содержит только один ненулевой элемент (который мы вы­деляли на предыдущем этапе), причём этот элемент равен 1. Это преоб­разование соответствует исключению базисных переменных из "верхних уравнений". Третий этап носит название "обратный ход", потому что тре­буемые преобразования удобно проводить "снизу вверх": сначала исклю­чить последнюю базисную переменную из всех строк, кроме последней ненулевой, потом перейти к следующей снизу, и т.д. Проведя все необходимые преобразования, запишем систему линейных уравнений, соот­ветствующую полученной .расширенной матрице. Заметим, что эта си­стема эквивалентна' исходной, и в каждое уравнение входит ровно одна базисная переменная, причём с коэффициентом 1, что очень облегчает выражение базисных переменных через свободные.

Заметим, что последний этап можно также проводить и не в матрич­ном виде, а непосредственно преобразуя систему линейных уравнений, соответствующую ступенчатому виду расширенной матрицы системы. Обратите внимание, что в последнее уравнение этой системы входит только одна базисная переменная и её легко выразить через свободные. Это выражение подставим в предпоследнее уравнение и из него выразим следующую базисную переменную, и так далее, снизу вверх. В результа­те этих выражений также получим требуемое общее решение системы.

Билет 22


medal-zolotaya-zvezda-geroya-rossijskoj-federacii.html
media-entuziast-ili-media-narkoman.html
    PR.RU™