Матрицы и действия над ними.

Ранг матрицы.

Рангом матрицы А наз-ся наивысший порядок,отличный от нуля миноров этой матрицы .обознач-ся r(A). Св-ва ранга:1)ранг матрицы не превосходит меньший из её размеров, 2)ранг=0,тогда и только тогда,когда все эл-ты матрицы=0, 3)для кв.матрицы порядка n ранг А=n тогда и только тогда,когда матрица невырождена.

Теорема.Ранг матрицы не меняется при эл-ных перобразованиях матрицы. Матрица наз-ся ступенчатой если выпол-ся след.ус-ия:1)i-ая строка нулевая, то i+1ая строка тоже будет нулевой, 2)если в iой и iой+1ой строках,первые не нулевые эл-ты стоят в столбцах с номерами k и l, то kp wsp:rsidR="00000000" wsp:rsidRDefault="00966A54"><"> l. Ранг ступенчатой матрицы=числе ненулевых строк. Св-ва ранга:1)r(A+B)p wsp:rsidR="00000000" wsp:rsidRDefault="006F0236">≤"> r(A)+r(B), 2)r(A+B) p wsp:rsidR="00000000" wsp:rsidRDefault="00984970">≥"> r(A)-r(B) , 3)r(A*B) p wsp:rsidR="00000000" wsp:rsidRDefault="00A82D47">≤"> min , 4)r( )=r(A),5)r(A*B)=r(A),если В-кв.матрица с определителем не=0, 6)r(A*B)=r(A)+r(B)-n,где n-число столбцов А или число строк В



Системы линейных уравнений.

Совокупность ур-ний вида

(1) - с-ма –линейных ур-ний с –неизвестным

Числа наз-тся коэффициентами с-мы. Числа - свободными коэф-ми.

Решением с-мы (1) наз-тся совокупность чисел при подстановке к-рых в с-му (1) вместо получаем верные числовые рав-ва.

Решить с-му, значит найти все ее решения, либо доказать, что их нет.С-ма наз-тся совместной, если она имеет хотя бы одно решение, несовместной- если решений нет. Матрица составлена из коэф-тов

наз-тся матрицей с-мы (1).

Х= -столбец неизвестных, В= -столбец свободных членов.

АХ=В. Пусть число ур-ий в системе=числу неизвестных,тогда матрица системы А будет квадратной, а её определитель будем наз-ть определителем системы. Предроложим,что матрица А невырождена.тогда сущ.обратная матрица . Умножим матричное ур-ие АХ=В на матрицу : *АХ=В* , ЕХ= В, Х= В(матричный м-д)

М-д Гаусса: применяется для произвольной с-мы линейных ур-ний.

С-му будем наз-ть ступенчатой, если матрица имеет ступенчатый вид. При решении с-м линейных ур-ний нам понадобится след алгоритм: 1)Запишем расшир. матрицу и приведем ее к ступенчатому виду,2)если ранги не равны, то с-ма несовместна, 3)если ранги равны и равны числу , то с-ма совместна и остается записать ее решение, 4)используя ступенчатый вид расширенной матрицы запишем соотв. ступенчатую с-му., 5)если = , т.е. ранг совпадает с числом неизвестных, то с-ма имеет единственное решение.

Двигаясь снизу вверх выражаем каждую из неизвестных.

1)если < , то в с-ме ур-ний и неизвестных. Снизу вверх выражаем каждую из главных неизвестных свободные неизвестные могут принимать любые значения, в этом случае с-ма имеет бесконечно много решений.



Пример. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.

Составим расширенную матрицу системы. исходная система может быть представлена в виде:

, откуда получаем: x3 = 2; x2 = 5; x1 = 1.

Правила Крамера:

С-ма линейных ур-ний наз-тся крамеровской, если число ур-ний совпадает с числом неизвестных и определитель матрицы с-мы отличен от 0.

Т. Крамеровская с-ма имеет единственное решение, к-рое находится по ф-лам

, где D-определитель матрицы с-мы, а - определитель,полученный из D подстановкой вместо того столбца столбец свободных коэф-тов.

Пр. ; ; ;ответ:

Бесконечно малые величины

Ф-я наз-тся бесконечно малой при , если ; . Н.: явл. бесконечно малой при .

Св-ва бесконечно малых ф-ий: 1)если ф-я имеет предел при , то можно принять , где – бесконечно малая при 2)если ф-я представляется в виде , где –бесконечно малая при , то предел при будет равен , 3)сумма конечного числа бесконечно малых ф-ий при будет бесконечно малой ф-ей при , 4)произведение двух бесконечно малых ф-ий при есть бесконечно малая при , 5)произведение бесконечно малой ф-и при на ограниченную ф-ю есть бесконечно малая ф-я, при , 6) произведение бесконечно малой ф-и при на постоянную есть бесконечно малая при .

Бесконечно большие величины

Ф-я наз-тся бесконечно большой при , если >0 можно найти такое число d>0, что при " 0< .

ББ ф-я при не им.предела. Условно говорят, что и пишут . Св-ва: 1) произведение ББВ на ф-ию, предел кот.не=0,есть ББВ, 2)сумма ББВ и огранич.ф-ии есть ББВ, 3)частное от деления ББВ на ф-ию,имеющую предел есть ББВ.

= (ещё большая бескон-ть)

21. Основные теоремы о пределах ф-ии.

1) Ф-я не может им.более 1-го предела, 2)предел суммы конечного числа ф-ий равен сумме пределов этих ф-ий , 3)предел произведения конечного числа ф-ий равен произведению их пределов

Если кроме того , то сущ-ет предел частного причем предел частного равен частному пределов.

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак предела, т.е.

Следствие 2. Если , то

4)предел частного двух ф-ий=частному их пределов при ус-ии, что предел знаменателя не=0. , 5) если предел ф-ии , , , 6) если некоторые окрест-ти , f(x)< , то их пределы будут связаны знаком p wsp:rsidR="00000000" wsp:rsidRDefault="003659C1">≤"> .

Признаки сущ-я пределов: 1) если числов.послед-ть монотонна и ограничена, то она им.предел, 2) если в некот.окрест-ти т. ф-ия f(x) заключена между 2мя ф-ми p wsp:rsidR="00000000" wsp:rsidRDefault="003D4421">П†(x)"> и p wsp:rsidR="00000000" wsp:rsidRDefault="00F832E7">П?(С…)"> , т.е , причём p wsp:rsidR="00000000" wsp:rsidRDefault="002B3025">П?(С…)"> и p wsp:rsidR="00000000" wsp:rsidRDefault="00FD7B66">П†(x)"> им.одинак.предел А при х , значит ф-ия f(x)им. Тот же предел А.

1-метод раскрытия неопределенности-сокращение общего множителя.

2-метод: деление на степень .

разделим на

Замечательные пределы.

Первый замечательный предел.

Пример:

Теорема Лагранжа.

Пусть на определена ф-я причем:

непрерывна на , диффер. на Тогда сущ-ет точка С, принадлежащ. , такая, что

Теорема Коши.

Пусть и непрерывны на и дифференцируемы на и пусть кроме того , тогда сущ-ет такая, что . Если в кач-ве взять ф-ю. = , то получим т. Лагранжа. Если т. Лагранжа положить , то получим т. Коши.

Теорема Лапиталля-Бернулли.

Пусть и определены и дифф. на содержащим точку за исключением быть может самой точки . Пусть предел при и на , тогда если сущ-ет конечный предел, при то сущ-ет и причем они равны.

29. Правило Лопиталя.

К разряду неопределенностей принято относить следующие соотношения:

Т.(правило Лопиталя).Если функции f(x) и g(x) дифференцируемы в вблизи точки а, непрерывны в точке а, g¢(x) отлична от нуля вблизи а и f(a) = g(a) = 0, то предел отношения функций при х®а равен пределу отношения их производных, если этот предел (конечный или бесконечный) существует.

Доказ-во.Применив формулу Коши, получим: , где e - точка, находящаяся между а и х. Учитывая, что f(a) = g(a) = 0:

Пусть при х®а отношение стремится к некоторому пределу. Т.к. точка e лежит между точками а и х, то при х®а получим e®а, а следовательно и отношение стремится к тому же пределу. Таким образом, можно записать: .

Пример:Найти предел .

при вычислении предела получается неопределенность вида . Функции, входящие в числитель и знаменатель дроби удовлетворяют требованиям теоремы Лопиталя.

f¢(x) = 2x + ; g¢(x) = ex;

;

30. Возрастание и убывание функций.

Т.1) Если функция f(x) имеет производную на отрезке [a, b] и возрастает на этом отрезке, то ее производная на этом отрезке неотрицательна, т.е. f¢(x) ³ 0.

2) Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на промежутке (а, b), причем f¢(x) > 0 для a < x < b, то эта функция возрастает на отрезке [a, b].

Если функция f(x) убывает на отрезке [a, b], то f¢(x)£0 на этом отрезке. Если f¢(x)<0 в промежутке (a, b), то f(x) убывает на отрезке [a, b].

Данное утверждение справедливо, если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на интервале (a, b).

Точки экстремума.

Функция f(x) имеет в точке х1 максимум, если ее значение в этой точке больше значений во всех точках некоторого интервала, содержащего точку х1. Функция f(x) имеет в точке х2 минимум, если f(x2 +Dx) > f(x2) при любом Dх (Dх может быть и отрицательным).Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума.

Т.(необход.ус-е сущ-я экстремума) Если функция f(x) дифференцируема в точке х = х1 и точка х1 является точкой экстремума, то производная функции обращается в нуль в этой точке.

Следствие. Обратное утверждение неверно. Если производная функции в некоторой точке равна нулю, то это еще не значит, что в этой точке функция имеет экстремум. функция у = х3, производная которой в точке х = 0 равна нулю, однако в этой точке функция имеет только перегиб, а не максимум или минимум.

Критическими точками функции наз-ся точки, в кот.производная ф-ии не сущ-т или =0.

Рассмотренная выше теорема дает нам необходимые условия существования экстремума, но этого недостаточно.

функция f(x) может иметь экстремум в точках, где производная не существует или равна нулю.

Т. (Достаточные условия существования экстремума)

Пусть функция f(x) непрерывна в интервале (a, b), который содержит критическую точку х1, и дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме, может быть, самой точки х1).

Если при переходе через точку х1 слева направо производная функции f¢(x) меняет знак с “+” на “-“, то в точке х = х1 функция f(x) имеет максимум, а если производная меняет знак с “-“ на “+”- то функция имеет минимум.

Метод замены переменных.

Если требуется найти интеграл , но сложно отыскать первообразную, то с помощью замены x = j(t) и dx = j¢(t)dt получается:

Пример. Найти неопределенный интеграл .

Сделаем замену t = sinx, dt = cosxdt.

Интегрирование по частям.

Способ основан на формуле производной произведения:(uv)¢ = u¢v + v¢u, где u и v – некоторые функции от х.

В дифференциальной форме: d(uv) = udv + vdu

Проинтегрировав, получаем: ,

Формула интегрир-я по частям: или

Пример.

Определенный интеграл.

Определенным интегралом от ф-и на наз-тся конечный предел её интегральной суммы, когда число элемент. отрезков неограниченно возрастает, а длина наиб. из них стремится к нулю. Обозначается:

Число a называется нижним пределом интегрирования, b- верхним пределом интегрирования, f(x)- подинтегральной ф-ей, х-переменной интегрирования.

По определению

(1)

след-но величина определенного интеграла не зависит от переменной интегрирования, т.е.

Ф-я, для к-рой существует предел (1) наз-тся интегрированием на .

Геом. смысл определенного интеграла состоит в том, что =S криволин. трапеции, ограниченной сверху графиком ф-и (f(x)≥0), снизу осью Ох, слева и справа- прямыми х=а и х=в.

43. Св-ва опред. интеграла:

1)

2)при перестановке пределов интегрирования, знак определенного интеграла меняется на противоположный

3)если и интегрируемы на ф-и, тогда ± также интегрируемы. Причем

4)св-во аддитивности. Пусть разбит на элементарных отрезков след. образом , тогда

5)постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла.

6)если интегрируема на (a

7)пусть ф-и f(x) и g(x) интегрируемы на (a

8)пусть ф-я f(x) интегрируема на (a

Т. (об оценке опред. интеграла). Если ф-я интегрируема на (a

Т. (о среднем значении) Если ф-я непрерывна на , то на этом отрезке существует точка с, такая что

44. ф-ла Ньютона-Лейбница. Если функция F(x) – какая- либо первообразная от непрерывной функции f(x), то

это выражение известно под названием формулы Ньютона – Лейбница.

Доказ-во: Пусть F(x) – первообразная функции f(x). Тогда в соответствии с приведенной выше теоремой, функция - первообразная функция от f(x). Но т.к. функция может им.бесконечно много первообразных, кот. будут отличаться друг от друга только на какое – то постоянное число С, то

при соответствующем выборе С это равенство справедливо для любого х, т.е. при х = а:

Тогда .

А при х = b:

Заменив переменную t на переменную х, получаем формулу Ньютона – Лейбница:

Теорема доказана.

Иногда применяют обозначение F(b) – F(a) = F(x) .

Формула Ньютона – Лейбница представляет собой общий подход к нахождению определенных интегралов.

Несобственные интегралы.

При введении понятия опред. интеграла предполагалось, что выполняются след. условия:1) Пределы a и b явл. конечными, 2)Подинтегральная ф-я явл. ограниченной на , в этом случае опред. интеграл наз-ют собственным. Если хотя бы одно из двух условий не вып-тся, то интеграл называют несобственным.

ДУ второго порядка

Общий вид: F(x,y,y’,y’’)=0. Общее реш-е содержит 2 независимые произвольные постоянные с1 и с2. Если заданы начальные условия y(x0)=y0, y’(x0) = y’0, то из с-мы можно найти произв постоянные с1 и с2, тем самым найти частное реш-е

Ур-я 2-го порядка решаются путём применения неопределённого интегрирования в след случаях:

1. Пусть

; ; ;

;

+c

2.

Положим , тогда

=> данное ур-е примет вид: , те получаем ур-е 1-го порядка с разделяющимися переменными.

Однородные линейные ДУ 2-го порядка имеет вид: ; p,q – нек действительные числа.

Искать решение в виде

λ2+pλ+q=0 – характеристическое ур-е.

1 случай: ур-е имеет 2 действит корня, λ1≠ λ2, тогда общее реш-е имеет вид:

2 случай: ур-е имеет 2 действит совп корня λ1= λ2= λ

Общее реш-е:

3 случай: корни квадратного ур-я мнимые: λ1,2= ,

Общий вид:

Числовые ряды.

Числовой ряд-символ, обозначаемый

Числа наз-ют членами этого ряда.

Суммы конечного числа членов этого ряда наз-ют частичными суммами или отрезками данного ряда.

Рассм. послед-сть . Если сущ-ет , то ряд наз-ют сходящимся, число –суммой этого ряда. Если послед-сть не имеет предела, то ряд расходящийся.

Пр. , ,

след-но данный числовой ряд сходится и его сумма =0.

Св-ва числовых рядов:1)если из членов ряда отбросить первых членов, то получим ряд , к-рый наз-тся –ным остатком. Остаток данного ряда сходится и расходится одновременно с исходным рядом. Это означает, что при исследовании сходимости ряда можно отбрасывать конечное число первых членов.

2)(необходимый признак сходимости). Общий член сходящегося ряда ®0, т.е. , что не явл. достаточным признаком.

3)если ряд сходится и его сумма = , то ряд также сходится, и его сумма =

4)если 2 числовых ряда и сходятся, тогда ряд

Матрицы и действия над ними.

Таблица чисел вида , состоящая из nстрок и mстолбцов наз-тся матрицей размерности n*m.

Числа наз-ют её элементами, если ¹ , то матрицу наз-ют прямоугольной, если = ,то квадратной. Если =1, а >1,то матрица примет вид и наз-тся матрицей-строкой. Если же >1, а =1, то матрица наз-тся матрицей-столбцом. Число строк в кв.матрице наз-ют ее порядком. Две матрицы наз-ют равными если они имеют одинак. размерность и соответствующие элементы равны.

Сложение и вычитание матриц.Суммой двух матриц А и В одинакового размера ´ наз-тся матрица С размерности ´ ,эл-ты к-рой равны сумме соотв-щих элементов матриц А и В.Матрица 0 размерности ´ ,все эл-ты к-рой=0 наз-тся нулевой матрицей..Разностью двух матриц А и В размерности ´ наз-тся матрица С размерности ´ такая, что А=В+С. Из определения следует,что эл-ты матрицы С равны разности соотв.эл-=ов матриц А и В.

Св-ва сложения: сложение матриц коммутативно, т.е. А+В=В+А, сложение матриц ассоциативно, т.е. (А+В)+С=А+(В+С), А+0=0+А=А

Умножение матриц на число. Произведение матрицы А на число a наз-тся матрицей 2А, элементы к-рой равны произведению числа a на соотв. элемент матрицы А.

Умножение матриц. Произведение матриц размерности ´ и матрицы В размерности наз-ся матрица С размерности , эл-ты к-рой вычисляются как сумма произведений соотв-щих эл-ов -строки матрицы А на -столбца матрицы В.

Пр.

Квадратная матрица порядка наз-тся единичной. Обозначается это матрица с единицами на главной диагонали.

Св-ва умножения: умножение не коммутативно, т.е. А*В¹В*А, умножение матриц ассоциативно, т.е. (А*В)*С=А*(В*С), если такие произведения существуют, если А матрицы размерности ´ , В размерности , то

Св-ва общие для операций над матрицами и операциями над числами: 1)А+В=В+А,2)(А+В)+С=А(В+С), 3)Т(А+В)=ТА+ТА (Т-число),4)А(В+С)=АВ+АС, 5)(А+В)С =АС+ВС,6)Т(А*В)=(ТА)В=А(ТВ),7)(АВ)С=А(ВС)

Отличие операций над матрицами и над числами: а)если произведение матриц А В сущ-т, то произведение В на А м.не сущ-ть (А2*3, В3*3, В*А-нельзя, несогласованная матрица), б) если произвед.матриц АВ и ВА сущ.,то они м.б.матрицами разных размеров

в)даже в случае когда оба произвед.А на В, В на А и им. одинак.размер,то переместительный (комутативный) для умножения в общем случае не выполняется

г)произв.2ух ненулевых матриц б.=0

возведение в степень. Целой полож.степенью ,где m>1 в кв.матрице А наз-т произведение А*А m раз. =Е, =А, * = ,( =

Транспонирование матрицы.Если в матрице А размерности ´


med-flavus-ekstrakt-pchelinih-sot.html
med-soc-profilaktika-i-rannyaya-kompleksnaya-pomosh.html
    PR.RU™